Telekolleg - Mathematik


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Telekolleg - Stochastik I Lösung mit dem Baumdiagramm

Um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, gibt es ein praktisches, einfaches Hilfsmittel: das Baumdiagramm. Wie es funtkioniert, erfahren Sie hier.

Stand: 10.12.2019 | Archiv

Wie groß ist bei vorhergehendem Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde an beiden Tagen ein silberfarbenes Auto erhält? Am einfachsten lässt sich dies über ein sogenanntes Baumdiagramm ermitteln. Ein solches Baumdiagramm enthält immer alle möglichen Verzweigungen, so dass man sieht, wie die Wahrscheinlichkeiten auf die einzelnen Elementarereignisse verteilt sind.

Das Baumdiagramm enthält alle möglichen Verzweigungen - bitte klicken Sie auf die Lupe

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich also mit den aus der Formel P(E) = g/m berechneten Wahrscheinlichkeiten darstellen. Bei zwei silberfarbenen und vier schwarzen Autos beträgt die Wahrscheinlichkeit, ein silberfarbenes Auto zu erhalten zwei Sechstel aus P(E) gleich 2/6 Gesamtmöglichkeiten, ein schwarzes zu erhalten, demnach 4/6. Am zweiten Tag ergibt sich nach Rückgabe des Autos am Vorabend wiederum die Möglichkeit ein silberfarbenes oder ein schwarzes Auto zu erhalten, mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten. Jeden gehbaren Weg in diesem Baumdiagramm bezeichnet man als einen Pfad. Zum Beispiel auch den gewünschten Pfad, zweimal ein silberfarbenes Auto zu erhalten.

Pfadmultiplikationsregel

In einem Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des dazugehörigen Pfades. Man nennt diese Gesetzmäßigkeit die Pfadmultiplikationsregel.

An den Pfaden, die jeweils zu einem Elementarereignis führen, sind die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten angetragen, wie es das Baumdiagramm zeigt. Die Wahrscheinlichkeit zweimal ein silberfarbenes Auto zu erhalten liefert das Produkt für den Pfad silber/silber mit 2/6 · 2/6 = 1/9 . Dies kann man auch für den Pfad in der Folge silber/schwarz mit  2/6 · 4/6 = 2/9 errechnen, ebenso für die Folge schwarz/silber. Dass der Kunde an beiden Tagen ein schwarzes Auto bekommt, hat die Wahrscheinlichkeit 4/9, wie es das Baumdiagramm zeigt. Und dies bedeutet, 4/9 < 0,5, wenn auch nur knapp, das Eintreffen des Ereignisses bei diesem mehrstufigen Zufallsexperiment ist eher unwahrscheinlich.

Beschreibung des statistischen Sachverhalts mit dem Urnenmodell - bitte klicken Sie auf die Lupe

Wenn man an Stelle der Autos als Platzhalter verschiedene farbige Kugeln wählt, diese Kugeln in einer Urne lagert und dann zieht, lässt sich ebenfalls ein Baumdiagramm darstellen und das ganze Modell würde den Namen Urnenmodell tragen. Dieser Begriff ist in der Stochastik fest verankert, beschreibt ein hypothetisches Experiment, und stellt eine Form einer Zufallsstichprobe dar.

Weiteres Beispiel

Dazu ein Beispiel: An einer Schule wird in der Schulstatistik erfasst, dass 60% aller Schüler am Ort wohnen und 40% außerhalb. Drei Schüler kommen nun ins Klassenzimmer und es soll ermittelt werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass der erste und der dritte Schüler am Ort wohnen und der zweite außerhalb.

Mit Hilfe des Urnenmodells, bei dem schwarze und weiße Kugeln für auswärtige und ortsansässige Schüler verwendet werden, wird das Problem über ein Baumdiagramm dargestellt: 100 Kugeln für angenommene 100 Schüler, davon 60 schwarze für 60%, das entspricht 6/10 ortsansässige und 40 weiße für 40% , das entspricht 4/10 auswärtige.

Lösung der Aufgabe mit Hilfe eines Baumdiagramms - bitte klicken Sie auf die Lupe

Das erstellte Baumdiagramm hat dann die nebenstehende Form mit den bezeichneten Pfaden. Wir müssen nun einen Pfad finden, der als erstes einen ortsansässigen Schüler beinhaltet, danach als zweiten einen Auswärtigen und als dritten wieder einen ortsansässigen Schüler. Die Wahrscheinlichkeit schwarz/weiß/schwarz ermittelt sich aus dem Produkt der Pfadwahrscheinlichkeiten 6/10, 4/10 und 6/10. Ausmultipliziert ergibt das 144/1000 oder 0,144.

Ein Kartentrick

Dem Zufall nachgeholfen: ein Kartentrick

Zum Abschluss zeigt ein Kartenspieler seine Tricks: Er schafft es, aus einem Stapel gemischter Karten Herzkönig, Herzdame und Herzbube zu ziehen. Untersucht werden soll zum Anfang aber nur, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ist, aus einem Kartenspiel eine Herz-Bild-Karte zu ziehen, wenn das Kartenspiel 32 Karten mit 12 Bild- und 8 Herzkarten besitzt. Die Wahrscheinlichkeit, das Ereignis E1 zu treffen, nämlich aus 32 Karten eine der 8 Herzkarten zu ziehen, beträgt 8/32, gekürzt 1/4. Die Wahrscheinlichkeit, das Ereignis E2 zu treffen, also eine der 12 Bildkarten zu ziehen, beträgt 12/32, gekürzt 3/8. Nach der Pfadmultiplikationsregel P( E1 E2 ) = P(E1) · P(E2) erhalten wir für die Schnittmenge Herzkarte und Bildkarte den Produktwert aus den beiden Teilwahrscheinlichkeiten 1/4 · 3/8 = 3/32.

Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer Herz-Bild-Karte - klicken Sie bitte auf die Lupe

Dieses Ergebnis lässt sich auch mit logischem Denken nachvollziehen: Wie viele Herz-Bild-Karten gibt es? Pro Kartenfarbe bei insgesamt 12 Bildkarten müssen es 12/4, also 3, sein. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, die Herz-Bild-Karte zu ziehen, wirklich 3/32.

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