Telekolleg - Mathematik


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Telekolleg - Stochastik I Experimente zur Wahrscheinlichkeit

Mit einem einfachen Studioexperiment, dem Würfeln, soll der Begriff "Wahrscheinlichkeit" quantitativ fassbar gemacht werden.

Stand: 10.12.2019 | Archiv

Beispiel zu Wahrscheinlichkeitsexperimenten | Bild: BR

Die Ergebnisse des Experimentes werden in eine Tabelle eingetragen. Man geht davon aus, dass es sich bei dem Würfel um einen sogenannten "idealen" Würfel handelt, bei dem der Schwerpunkt in der Würfelmitte liegt und somit die Wahrscheinlichkeit des Würfelns jeder bestimmten Augenzahl gleich groß ist. Nach 12 Würfen müsste sich demnach die Wahrscheinlichkeit ergeben, dass jeweils nach 4 Würfen eine 6 erscheint. Ein weiteres Experiment zeigt jedoch, dass sich aus dieser geringen Zahl noch keine Gesetzmäßigkeit für ein Zufallsexperiment ableiten lässt.

Beschreibung eines Zufallsexperiments - klicken Sie bitte auf die Lupe

In der Wahrscheinlichkeitstheorie steht ein Zufallsexperiment für einen Versuch mit zufälligem Ausgang. Als Versuch versteht man dabei einen Vorgang, bei dem das Ergebnis nicht vorhersehbar ist. Obwohl jedes Versuchsergebnis zufällig ist, lassen sich bei genügend vielen Versuchswiederholungen Gesetzmäßigkeiten erkennen. Dies aber nur, wenn das Zufallsexperiment folgende Eigenschaften besitzt: Das Zufallsexperiment muss vorher bekannte Ergebnismöglichkeiten haben, jedes einzelne Experiment hat ein nicht vorhersagbares Ergebnis und das Experiment muss unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar sein.

Definition der Wahrscheinlichkeit P(E) - klicken Sie bitte auf die Lupe

Hier zunächst die mathematische, klassische Definition für Wahrscheinlichkeit. Jede gewürfelte Augenzahl stellt ein Elementarergebnis dar. Demnach sind sechs Elementarergebnisse möglich. Können im Ergebnis eines Versuchs  m  gleichmögliche Ergebnisse auftreten und zieht das Eintreten eines jeden von g dieser m Ereignisse das Eintreten eines Elementarereignisses E nach sich, wobei g für günstiges Ereignis steht, so ist die Wahrscheinlichkeit für dessen Eintreten P(E) =  g/m.

Zufallsexperimente, bei denen alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, heißen Laplace-Experimente. Ein Laplace-Experiment stellt also ein Zufallsexperiment dar, bei dem davon ausgegangen werden kann, dass jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist. Der Franzose Pierre-Simon de Laplace sprach im 18. Jahrhundert als erster von einer Gleichwahrscheinlichkeit in einem bestimmten Ergebnisraum.

Die 6 Möglichkeiten beim Würfelspiel

Für das Würfelspiel ist dieser Ergebnisraum die Menge der Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Das Würfeln ist also ein Laplace-Experiment. Betrachtet man den fallenden Würfel, so ist jede Augenzahl gleich wahrscheinlich. Das Eintreten des Ereignisses, die Augenzahl 1 zu haben heißt P von 1, das Eintreten des Ereignisses, die Augenzahl 2 zu haben P von 2 und so weiter.

Wahrscheinlichkeit beim Würfelspiel

Mit der oben genannten  Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses – hier das Würfeln einer bestimmten Augenzahl – gilt also P(E) = g/m. Bei einem günstigen Ereignis – sprich Wurf – 1 für g, bei 6 Möglichkeiten somit 6 für m, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit 1/6.

Was sagt uns die Zahl ein Sechstel aber aus? Der günstigste Fall wäre ein Würfel, der nur auf einer Seite liegen bleiben kann, also immer die gleiche Augenzahl würfelt. Die Anzahl der Möglichkeiten ist dann 1 und somit der günstigste Fall 1 durch Möglichkeiten 1 gleich 1.

Darstellung der günstigsten und ungünstigsten Fälle - klicken Sie bitte auf die Lupe

Der günstigste Fall tritt auch ein, wenn sechs mal die gleiche Augenzahl auf den Würfelseiten aufgetragen wäre. Die Anzahl der günstigen Ereignisse wäre somit 6. Und P(E) = 6/6 wiederum 1. Wenn also das Eintreffen eines Ereignisses gewiss ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit P(E) = 1.

Gibt es kein günstiges Ereignis, das wäre der schlechteste Fall, so ist g gleich 0 und man erhält P(E) = 0.

Die 5 Bereiche der Wahrscheinlichkeit - klicken Sie bitte auf die Lupe

Zusammenfassend lassen sich die unterschiedlichen Bereiche zum Eintreffen eines Ereignisses in einer Tabelle einteilen. Gilt P(E) = 1, so ist das Eintreffen des Ereignisses gewiss. Für P(E) > 0,5 ist das Eintreffen des Ereignisses wahrscheinlich.  Für P(E) = 0,5 ist das Eintreffen des Ereignisses zweifelhaft. Bei P(E) < 0,5 ist das Eintreffen des Ereignisses unwahrscheinlich. Und für P = 0 ist es unmöglich.


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