Die Zinseszinsformel ist eine Exponentialfunktion

Betrachten wir dazu zunächst die bekannte Zinseszinsformel K₀(1 + p/100)^x = K_x . Diese Exponentialfunktion besagt, dass nach einer Anzahl von x Jahren das Endkapital K_x erreicht wird.

Die Frage nach der Zeit x führt zu einer Umkehrung der Exponentialfunktion.

Dreht man die Fragestellung um und will wissen, nach welcher Zahl von Jahren ein bestimmtes Endkapital erreicht wird, so handelt es sich um eine Umkehrung der Exponentialfunktion.

Das Zellwachstum folgt einer Exponentialfunktion.

Beim Zellwachstum verdoppelt sich in einem Zeitabschnitt Δt die Zahl der Zellen, das Zellwachstum folgt der Exponentialfunktion 2^x = y.

Das Vertauschen von x und y führt zu einer Umkehrung der Exponentialfunktion.

Dreht man auch hier die Fragestellung um und will wissen, nach welcher Zeit t eine bestimmt Zahl von Zellen entstanden ist, so lautet die Funktionsvorschrift 2^y = x, es handelt sich auch hier um die Umkehrung der Exponentialfunktion.

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion.

Die Funktion 2^y = x bedeutet, dass eine Zahl y gesucht wird, mit der 2 potenziert den Wert x ergibt. Nach y aufgelöst ergibt sich die Funktion y = log₂ x, log₂ x ist der Logarithmus zur Basis 2 von x.

Wertetabelle und Graph der neben stehenden Logarithmusfunktion

Der Graph der Funktion y = log₂ x lässt sich - wie die Graphik zeigt - punktweise mit Hilfe einer Wertetabelle zeichnen. Da die Logarithmusfunktion y = log₂ x die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y = 2^x ist, spiegeln sich die Graphen an der Spiegelgeraden y = x (rote Linie), so dass der Graph der Logarithmusfunktion auch durch Spiegeln der Exponentialfunktion gezeichnet werden kann.

Der Natürliche Logarithmus

Definition des Natürlichen Logarithmus ln

Logarithmusfunktionen sind auch für alle anderen Basen a > 0 möglich, eine besondere Rolle spielen in der Mathematik der Logarithmus zur Basis 10, log₁₀ x, abgekürzt lg x, und der Logarithmus zur Basis e, log_e x, der sog. Natürliche Logarithmus, abgekürzt ln x (logarithmus naturalis).

Umwandlung in e-Funktion

Überführung beliebiger Exponentialfunktionen in e-Funktionen

Die Beziehung e^{ln a} = a lässt sich nutzen, um beliebige Exponentialfunktionen y = a^x in e-Funktionen umzuwandeln: y = a^x = (e^{ln a})^x = e^{ln a · x}.
Als erstes Beispiel soll y = 2^x in eine in e-Funktion umgewandelt werden:
y = 2^x = e^{ln a · x} ≈ e^{0,69 · x}.

Das zweite Beispiel hat eine Basis a < 0: y = 0,5^x = e^{ln 0,5 · x} ≈ e^{-0,69 · x} .

Die Graphen einer monoton steigenden und einer monoton fallenden e-Funktion

Der negative Exponent dieser e-Funktion weist darauf hin, dass der Graph - wie der von allen Exponentialfunktionen mit a < 1 - monoton fallend ist. Die Graphen von Exponentialfunktionen mit a > 1 dagegen sind monoton steigend.