Wie viel Kapital sich nach n Jahren angesammelt hat, lässt sich mit der sog. Zinseszinsformel berechnen.

Das Wachstum einer Exponentialfunktion macht sich jeder Sparer zunutze, der sein Geld mit einem festen Zinssatz auf einem Konto angelegt hat und die anfallenden Zinsen ungeschmälert auf dem Konto belässt. Diese Zinsen werden dann im Folgejahr mitverzinst usw. Wie hoch sich das Kapital K_n nach n Jahren bei einem Grundkapital K₀ und einem Zinssatz p (in Prozent) beläuft, lässt sich mit der sog. Zinseszinsformel berechnen: K_n = K₀(1 + p/100)ⁿ .

Kapitalzunahme nach fünf Jahren

Diese Formel lässt sich anhand der Grafik leicht nachvollziehen, als Beispiel dient ein Zinssatz von 10% also p = 10, die Summe in der Klammer ist dann 1,1. Das Kapital nach einem Jahr ist K₀·1,1, nach dem 2. Jahr (K₀·1,1)1,1, nach dem 3. Jahr ((K₀·1,1)1,1)1,1, nach dem 4. Jahr (((K₀·1,1)1,1)1,1)1,1 und nach dem 5. Jahr ((((K₀·1,1)1,1)1,1)1,1)1,1 bzw. in Potenzschreibweise K₅ = K₀·1,1⁵.

Die Zinseszinsformel entspricht einer Exponentialfunktion.

Nach dem n-ten Jahr ist das Kapital dann auf K_n = K₀·1,1ⁿ angewachsen.

Die Zinseszinsformel als Exponentialfunktion für beliebige Zinssätze

Statt des speziellen Zinssatzes p = 10% kann auch ein beliebiger Zinssatz p eingesetzt werden, statt 1,1 steht dann in der Formel (1 + p/100). Wenn man statt (1 + p/100) die Größe q einsetzt, lautet die Formel - wie oben angegeben - K_n = K₀(1 + p/100)ⁿ bzw. K_n = K₀·qⁿ .

Die Zinseszinsformel wird in eine allgemeine Exponentialfunktion überführt.

Diese Formel kann nun ganz allgemein für eine Wachstumsfunktion umgeformt werden: Man ersetzt K₀ durch einen Startwert y₀ und n durch x und erhält die Wachstumsformel y = y₀ ·q^x.

Beispiele aus der Biologie

Berechnung des Wachstums einer Mäusekolonie

Als erstes Beispiel wird das Wachstum einer Mäusekolonie von 60 Mäusen berechnet, die sich in jedem Monat um 50% vermehrt. Die Formel lautet für dieses Beispiel y = 60·1,5^x

Nach jedem Zeitabschnitt verdoppelt sich die Zahl der Zellen.

Ein weiteres Beispiel aus der Biologie ist das Zellwachstum. Eine Zelle teilt sich nach einer bestimmten Zeit Δt, nach der gleichen Zeit Δt teilen sich die zwei Zellen wieder usw. D.h. nach jedem Zeitabschnitt Δt verdoppelt sich die Zahl der Zellen (genügend Nahrungsangebot vorausgesetzt). Der Prozentsatz ist hier also 100% bzw. der Faktor q = 1 + 100/100 = 2. Die Wachstumsfunktion lautet daher y = 2^x .

Grafische Darstellung des Wachstums der Zellkolonie

Trägt man die Zahl der Zellen nach jeweils einem Zeitabschnitt Δt in ein Säulendiagramm ein, so lässt sich das rasche Wachstum gut erkennen.

Die Kolonie der Hefezellen im Teig wächst kontinuierlich.

Betrachtet man dagegen eine sehr große Zellkolonie, z. B. die Hefezellen in einem Hefeteig, so lässt sich sie Vermehrung nicht mehr in diskreten Schritten beobachten, sie erscheint kontinuierlich.

Der Graph der Funktion verläuft stetig nach oben.

Der Graph der Funktion ist dann nicht mehr treppenförmig, sondern verläuft stetig nach oben, ebenfalls mit der Funktionsgleichung y = 2^x .