Experiment mit zwei Federn mit unterschiedlicher Federkonstante

Dazu werden zwei Schraubenfedern mit unterschiedlicher Federkonstante jeweils mit zwei Gewichtsstücken mit je 102 g Masse bzw. mit einer Gewichtskraft von je 2 N belastet. Dabei wird Feder 1 um 2 Längeneinheiten (LE) gedehnt, Feder 2 dagegen um 8 Längeneinheiten.

Auswertung des Experiments in zwei Weg-Kraft-Diagrammen

Trägt man diese Ergebnisse jeweils in ein Weg-Kraft-Diagramm ein, so zeigt sich, dass Feder 1 für eine Dehnung von 1 Längeneinheit eine Kraft von 1 N benötigt, das ergibt eine Funktion f(x) = x. Feder 2 dagegen benötigt für die gleiche Dehnung von 1 LE nur 0,25 N bzw. für 8 LE eine Kraft von 2 N, d. h. g(x) = 0,25x.

In Feder 2 ist bei gleicher Dehnung nur ein Viertel der Arbeit gegenüber Feder 1 gespeichert.

Berechnet man nun jeweils die für die Dehnung von 4 LE aufgewendete Arbeit, so ergibt sich für Feder 2 eine Arbeit W = 2 J, für Feder 1 dagegen beträgt die Spannarbeit W = 8 J. D.h., ₀∫⁴g(x)dx = ₀∫⁴0,25x dx = 0,25 ₀∫⁴f(x) dx .

Regel für das Integrieren einer Funktion mit einem konstanten Faktor

Allgemein formuliert lautet die Regel dann _a∫^bc·f(x)dx = c· _a∫^bf(x)dx .