Telekolleg - Integralrechnung Anwendung des Hauptsatzes
Wir wenden den Hauptsatz nun auf einige Beispiele aus früheren Sendungen an.
Die Ableitung der Funktion Fo(x) = 0,5·x hoch 2 ergibt wieder Fo’(x) = x = f(x).
Bei dem Experiment, anhand dessen die Arbeit für die Dehnung einer Schraubenfeder berechnet wurde, ist die Kraft proportional zur Dehnung, f(x) = x. Die Arbeit entspricht dem Integral der Funktion f(x), F0(x) = 0,5x2 . Die Ableitung der Funktion F0(x) = 0,5x2 ergibt wieder F0’(x) = x = f(x).
Beispiel: parabelförmig verlaufendes Eisenbahngleis
Die Ableitung der Integralfunktion
Bei dem Beispiel mit dem parabelförmig verlaufenden Eisenbahngleis sollte die Fläche unter dem Funktionsgraphen von 0 bis x berechnet werden. Aus der Randfunktion f(x) = x2 ließ sich durch Integrieren die Fläche bzw. die Integralfunktion F0(x) = x3/3 bestimmen. Die Ableitung dieser Integralfunktion ergibt wieder F0’(x) = 3x2/3 = x2 = f(x) .
Weiteres Beispiel
Die Integralfunktion Fo(x) der Funktion f(x) = x hoch 4 soll bestimmt werden.
Der Hauptsatz ist bei vielen Problemen der praktischen Mathematik hilfreich. Beispielsweise soll die Integralfunktion F0(x) der Funktion f(x) = x4 bestimmt werden. Laut dem Hauptsatz ist die Ableitung der gesuchten Funktion F0(x), nämlich F0’(x), gleich der Funktion f(x), F0’(x) = x4 .
Unendlich viele Stammfunktionen
Durch das Integrieren von y’ erhält man unendlich viele Stammfunktionen.
Wenn man nun allerdings die Funktion F0’(x) bzw. y’ integriert, um y(x) bzw. F0(x) zu erhalten, ergibt sich ein Problem: Man würde eine unendliche Zahl verschiedener Funktionen mit dem Summanden 0,2x5 und einem weiteren Summanden erhalten, sie alle sind sogenannte Stammfunktionen der abgeleiteten Funktion y’ = x4, da ja beim Differenzieren der 2. Summand weggefallen ist. Nur eine dieser Funktionen kann aber die richtige sein.
Die einzig richtige Stammfunktion
Nebenbedingung: Wenn x = 0 ist auch Fo(x) = 0,d.h. Fo(0) = 0.
Es gibt allerdings, wie die Grafik zeigt, eine Nebenbedingung: Wenn x = 0 ist auch F0(x) = 0, d.h. F0(0) = 0.
Als einzige Stammfunktion, die die Bedingung Fo(0) = 0 erfüllt, bleibt y = 0,2·x hoch 5 .
Immer wenn x = 0 ist, der zweite Summand aber ungleich Null, ist diese Bedingung nicht erfüllt. Als einzige Stammfunktion, die die Bedingung F0(0) = 0 erfüllt, bleibt also y = 0,2·x5 .
Zusammenfassung
Um die Integralfunktion zu bestimmen, sind also zwei Schritte erforderlich:
1. Die Stammfunktionen zu einer gegebenen Funktion f(x) bestimmen.
2. Die Integralfunktion in der Menge der Stammfunktionen suchen.
Das Vorgehen zu Punkt 2 wird im nächsten Beitrag noch weiter erläutert.
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