Telekolleg - Mathematik


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Telekolleg - Integralrechnung Physikalischer Versuch

Wir beginnen mit einem physikalischen Versuch, der uns einen Schritt weiter bringen soll: Wir wollen die Strömungsstärke durch Differenzieren der Funktion "Fläche" beziehungsweise "Volumen" bestimmen.

Stand: 20.11.2013

Integralrechnung | Bild: BR

Wir bedienen uns zu Anfang der physikalischen Versuchsanlage, die schon in der vorhergehenden Folge zur Integralfunktion verwendet wurde, allerdings ist das Messgerät für die Strömungsstärke entfernt.

Das transportierte Flüssigkeitsvolumen kann an der Skala abgelesen werden.

Um dennoch zeitabhängige Änderungen des von der Pumpe transportierten Wasservolumens festzustellen, bedient man sich einer Skala an dem Auffanggefäß und einer Stoppuhr.

Die Aufgabenstellungen der vorhergehenden und der aktuellen Sendung gegenübergestellt.

An einer Tafel werden die Aufgabenstellungen der vorhergehenden und der aktuellen Folge gegenübergestellt: Aus der Strömungsstärke in einem bestimmten Zeitintervall konnte durch Integrieren das transportierte Wasservolumen ermittelt werden.

In 10 s wurden 0,23 l Wasser transportiert.

Umgekehrt soll nun durch eine andere Operation aus dem transportierten Wasservolumen pro Zeit die Strömungsstärke berechnet werden.

In 30 s wurden 0,68 l Wasser transportiert.

In einem ersten Versuch soll nun bei konstanter Strömungsstärke die nach 10 s und nach 30 s in den leeren Auffangbehälter geflossene Wassermenge bestimmt werden. Nach 10 s wird ein transportiertes Volumen von 0,23 l abgelesen (siehe Bild oben), nach 30 s ein solches von 0,68 l (siehe Bild links).

Berechnen der Strömungsstärke

Die aus der Volumenänderung berechnete Strömungsstärke beträgt 0,22 l/s.

Um nun die Strömungsstärke zu berechnen ermittelt man das in einem Zeitintervall Δx , hier 20 s, transportierte Wasservolumen. Es beträgt ΔV = 0,68 l – 0,23 l = 0,45 l. Die Strömungsstärke ergibt sich dann zu
ΔV/ Δx = 0,45 l / 20 s = 0,22 l/s.

Grafische Darstellung

Das Vorgehen wird nun nochmals anhand einer Grafik erläutert:

Das Gesamtvolumen Vges ist die Summe aus dem Volumen Vo und dem Volumen Δx ·f.

Die x-Achse des Koordinatensystem gibt die Zeit an, die y- Achse die Strömungsstärke. Zu einem Zeitpunkt x0 wurde das Volumen V0 transportiert, zu einem Zeitpunkt x0 + Δx das Volumen Vges. Das im Zeitabschnitt Δx transportierte Volumen ist dann die Differenz Vges - V0.

f(xo) ist der Quotient der Fläche über Δx, geteilt durch Δx.

Das Differenzvolumen entspricht der Fläche zwischen dem Graphen der (unbekannten) Strömungsstärke und der x-Achse im Abschnitt Δx . Die Breite f(x0) dieses Rechtecks ist der Quotient der Volumendifferenz, also der Fläche über Δx, geteilt durch Δx.

Die Rechnung

Berechnung der Strömungsstärke f(xo)

Die Rechnung lautet also zusammengefasst: f(x0) = [F0(x0 +Δx) - F0(x0)]/Δx .


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