Unsere Beispielfunktion lautet: f(x) = x³ – x² – 12x.

Kurvendiskussion, Bestimmung der Nullstellen

Zum Auffinden der Nullstellen wird die Funktionsgleichung gleich Null gesetzt und x ausgeklammert, sie lautet nun x(x² – x – 12) = 0. Für eine Nullstelle lautet die Lösung x₁ = 0. Wenn die quadratische Gleichung in der Klammer gleich Null ist, ergeben sich zwei weitere Nullstellen, x2 = 4 und x3 = -3 .

Kurvendiskussion, Bestimmung möglicher Extrempunkte - klicken Sie bitte auf die Lupe.

Zur Bestimmung der Extrempunkte bildet man zunächst die 1. Ableitung f’(x) = 3x² – 2x – 12 und die 2. Ableitung f’’(x) = 6x – 2 . Die Nullstellen der 1. Ableitung ergeben sich aus 3x² – 2x – 12 = 0 , die Näherungswerte sind x₁ = -1,69 und x₂ = 2,36 . Setzt man diese Werte in die 2. Ableitung f’’(x) = 6x – 2 ein, so ergibt sich f’’(-1,69) < 0 und f’’(2,36) > 0 . D.h., der Extrempunkt E₁(-1,69/12,6) ist ein Maximum, der Extrempunkt E₂ (2,36 /-20,75) ist ein Minimum. Die y-Werte dieser Extrempunkt erhält man durch Einsetzen der zugehörigen x-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung.

Kurvendiskussion, Bestimmung möglicher Wendepunkte

Zur Bestimmung möglicher Wendepunkte benötigt man die 2. Ableitung f’’(x) = 6x – 2 und die 3. Ableitung f’’’(x) = 6 . Die Lösung von f’’(x) = 6x – 2 = 0 ergibt x₁ = 1/3 . Da die 3. Ableitung überall konstant gleich 6 ist, gibt es nur diesen Wendepunkt W(0,333/-4,07).

Graph der Funktion mit Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkt

Die berechneten Punkte, Nullstellen, Maximum, Minimum und der Wendepunkt werden schließlich in ein Koordinatensystem eingetragen. Zeichnet man dazu den Graphen ein, so lässt sich beurteilen, ob die Berechnungen richtig sind.