Die Firma in A sucht nach dem preisgünstigsten Transportweg nach B

Eine Fabrik in A will Waren zu einem Kunden in B liefern. Auf dem Landweg fallen Transportkosten von 300 DM/km an, einen Teil der Strecke könnte man aber auch auf einer nahe gelegenen Wasserstraße zurücklegen, wo nur 200 DM/km anfallen. Wie die Abbildung zeigt, sind der reine Landweg, aber auch viele Kombinationen von Wasser- und Landtransport möglich. Entscheidend ist nun, welche Kombination am preisgünstigsten ist.

Aufstellen der Extremalfunktion mit der Nebenbedingung

Eine Skizze verdeutlicht die Situation: Auf dem Wasser können maximal 500 km zurückgelegt werden, die kürzeste Strecke von der Wasserstraße zum Kunden beträgt 350 km. Der Punkt des Übergangs vom Wasser- zum Landtransport heißt C, die Strecke 500 km – AC wird x genannt und die Strecke CB heißt y . Die Extremalfunktion für die Kosten lautet K(x) = 200(500-x) + 300y . Die zweite Variable y lässt sich nach dem Satz von Pythagoras durch die Beziehung (x² + 3502]^0,5 = y ersetzen, das ist die Nebenbedingung.

Bildung der 1. Ableitung und Berechnung der Strecke x

Wird (x² + 3502]^0,5 in die Funktionsgleichung eingesetzt, so erhalten wir K(x) = 200(500-x) + 300(x² + 3502]^0,5.

Die 1. Ableitung K’(x) errechnet sich dann zu K’(x) -200+ 300/(x² + 3502]^0,5.

Für K’(x) = 0 bzw. 0 = -200+ 300/(x² + 3502]^0,5 erhalten wir den Wert x = 313.

Aus der Strecke x lassen sich der komplette Transportweg und die Transportkosten berechnen.

Aus dieser Größe lassen sich dann auch der komplette Transportweg ACB sowie die Kosten für die Teilstrecken AC und CB berechnen.