Telekolleg - Mathematik


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Extremwertaufgaben 2 Das Extremum ermitteln

Wie kann man nun das Extremum ermitteln? Das erfahren Sie hier.

Stand: 03.06.2013 | Archiv

Schritt 7 zur Lösung der Extremwertaufgabe

Die 1. Ableitung wird Null gesetzt. Die entstandene Gleichung wird gelöst.

Bestimmung der Nullstelle der 1. Ableitung - Klicken Sie bitte auf die Lupe.

Die weitere Rechnung sieht dann so aus: 0 = (-1,8(cos α)3+ 1,3(sin α)3/(sin α)2·(cos α)2

Da der Nenner nicht unendlich werden kann, muss der Zähler gleich Null sein:

0 = (-1,8(cos α)3+ 1,3(sin α)3 => 1,8/1,3 = (sin α)3/(cos α)3, 1,8/1,3 als Dezimalbruch ergibt 1,3846153 = ((sin α)/(cos α))3 => 1,3846153 = (tan α)3 bzw. tan α = (1,3846153)1/3.

Mit dem Taschenrechner wird der Winkel alpha berechnet.

Mit dem Taschenrechner lässt sich daraus der Winkel bestimmen: a = 48,1º .

Schritt 8 zur Lösung der Extremwertaufgabe

Um zu überprüfen, ob es sich bei dem Extremwert wirklich um das gesuchte Minimum handelt, wird die 2. Ableitung gebildet und das Ergebnis eingesetzt, das ist der 8. Schritt:

Das Ergebnis wird in die 2. Ableitung eingesetzt. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle größer Null, so liegt ein lokales Minimum vor. Ist die 2. Ableitung kleiner Null, so liegt an dieser Stelle ein lokales Maximum vor.

Experimentelle Überprüfung des errechneten Winkels alpha

Das Bilden der 2. Ableitung kann man sich aber unter Umständen ersparen, wenn aus dem Sachzusammenhang erkennbar ist, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt.

Das Brett kann maximal 4,36 m lang sein

Setzt man den so errechneten Winkel in die Ausgangsgleichung l(a) = 1,8/sin α + 1,3/cos α ein, so ergibt sich l = 4,36 m. Dieses Ergebnis lässt sich am Modell auch überprüfen.
Die vorgestellte Lösungsstrategie soll nun in einer zweiten Aufgabe angewendet werden ...


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