Mathematik Ebenen im Raum
Was ist eigentlich - mathematisch gesehen - eine Ebene? Und wie kann man sie festlegen? Mit Hilfe von Vektoren lassen sich Ebenen im Raum mathematisch darstellen. Wie das geht, erfahren Sie hier.
Diese Lektion wird die Überlegungen der vorhergehenden aufgreifen und weiterführen. Sie müssen also die vektorielle Geradengleichung und die Ebenengleichung kennen und mit ihnen umgehen können. Bei der Frage nach den Schnittpunkten von Geraden und Ebenen treten lineare Gleichungssysteme mit zwei und drei Unbekannten auf. Sie benötigen die Lösungsverfahren solcher Gleichungssysteme aus der Algebra (vgl. Telekolleg Algebra, Lektionen 1 bis 3).
Bei der Herleitung der Komponentendarstellung des Skalarprodukts wird eine Formel aus der Trigonometrie benutzt, nämlich für die Kosinusfunktion der Differenz zweier Winkel.
Es ist cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β .
Übersicht über Lektion 10
10.1 Zwei Geraden im Raum
Zwei Geraden im Raum können unterschiedlich zueinander liegen: Sie können zueinander parallel sein (im Spezialfall sogar identisch), sie können sich schneiden oder sie können windschief zueinander sein. Die Parallelität von Geraden erkennt man an den Richtungsvektoren. Ob zwei Geraden sich schneiden oder zueinander windschief sind, muss in der Regel durch eine Rechnung gefunden werden.
10.2 Schnittpunkt zweier Geraden
Der Schnittpunkt zweier Geraden lässt sich errechnen, wenn man die rechten Seiten der beiden Geradengleichungen gleich setzt. Man erhält dann ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten λ und μ. Ist das Gleichungssystem lösbar, so schneiden sich die Geraden.
10.3 Skalarprodukt in Komponentenschreibweise
Sind zwei Vektoren mit ihren Komponenten gegeben, kann das Skalarprodukt in Komponentenschreibweise dargestellt werden.
Mit Hilfe des Skalarproduktes lässt sich entscheiden, ob zwei Geraden senkrecht zueinander sind.
10.4 Gerade und Ebene
Auch Gerade und Ebene können verschiedene Lagen zueinander haben. Eine Gerade kann parallel zu einer Ebene liegen. Dann liegt sie entweder ganz in der Ebene oder sie trifft die Ébene gar nicht. Ist eine Gerade nicht parallel zu einer Ebene, dann haben Gerade und Ebene einen Schnittpunkt.
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