Grips


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GRIPS Mathe 20 Kreisfläche

Wer viel arbeitet, soll auch gut essen. Sebastian Wohlrab, Niklas und Charlotte haben sich eine Pizza verdient. Doch was ist günstiger: eine Jumbopizza oder zwei normale Pizzas? Dieses Rätsel lässt sich ganz leicht mit der Flächenformel für den Kreis lösen.

Stand: 08.08.2016 | Archiv

Illustration GRIPS Mathelehrer- Lektion 20 | BR | Bild: BR

Auf dieser Seite geht es um den Flächeninhalt von Kreisen. Zunächst lernst du, mit welcher Formel du den Flächeninhalt eines Kreises berechnest. Anschließend erfährst du die Antwort darauf, welche Pizzavariante denn nun günstiger ist.

Der Flächeninhalt eines Kreises

Vor der Pizzabestellung überlegen Seabstian Wohlrab, Niklas und Charlotte welche Pizza größer ist. Eine Jumbopizza mit einem Durchmesser von 50 cm oder zwei normale Pizzas mit einem Durchmesser von 32 cm?

Um die Frage beantworten zu können, müssen die Flächeninhalte der Pizzas berechnet werden.

Mit Hilfe der Rechtecksformel kannst du die Formel für den Kreis finden.

Grafiken Grips Mathe Kreisfläche | Bild: BR

Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest du, indem du die Länge (a) mit der Breite (b) multiplizierst:

ARechteck = a · b


Jetzt zeigen wir dir, wie du zur Kreisformel kommst. Mach mit!

1. Kreis als "Rechteck"

1. Kreis zeichnen

Grafiken Grips Mathe Kreisfläche | Bild: BR

Teile einen Kreis in 12 gleich große Teile.

Markiere 6 davon in einer Farbe und die anderen 6 in einer anderen Farbe.

Sieh dir dazu die Abbildung an.

2. Kreissektoren ausschneiden

Grafiken Grips Mathe Kreisfläche | Bild: BR

Schneide die 12 Kreissektoren aus.

Den letzten Kreissektor schneidest du in der Mitte durch.

3. Nebeneinander legen

Grafiken Grips Mathe Kreisfläche | Bild: BR

Lege die Teile wie in der Skizze aneinander.

Der Kreis sieht jetzt einem Rechteck ähnlich.

2. Formel finden

1. Schritt

Kreiselemente der Rechteckformel zuweisen

Grafiken Grips Mathe Kreisfläche | Bild: BR

Du hast gesehen, dass man einen Kreis auch als Rechteck darstellen kann.

Deshalb kannst du im nächsten Schritt die Flächenformel für das Rechteck anwenden: A = a · b


a. Die Länge der Seite a des Rechtecks entspricht dem halben Umfang u des Kreises.

b. Die Länge der Seite b entspricht dem Radius r.

2. Schritt

Kreiselemente in Rechteckformel einsetzen

Berechnungen zur Kreisfläche | Bild: BR

Wenn du die Kreiselemente aus Schritt 1 für a und b in die Rechtecks-Formel einsetzt erhältst du nebenstehende Formel.

3. Schritt

Für u kannst du auch schreiben...

Berechnungen zur Kreisfläche | Bild: BR

Der Umfang u = Durchmesser d · Kreiszahl π.

Der Durchmesser ist nichts anderes als 2 mal der Radius. Für u kannst du also auch schreiben: 2 · r · π.

Die Formel für die Kreisfläche sieht dann so wie auf dem Bild aus.

4. Schritt

Berechnungen zur Kreisfläche | Bild: BR

Formel Kreisfläche

Wenn du die Formel aus Schritt 3 durch Kürzen vereinfachst, erhältst du die endgültige Formel für die Kreisfläche.

Du hast die Formel kennengelernt, mit der du die Kreisfläche berechnen kannst. Diese Formel solltest du dir gut merken!

Formel Kreisfläche

Berechnungen zur Kreisfläche | Bild: BR

Mit dieser Formel berechnest du die Kreisfläche.

Der Flächeninhalt der Pizza

Zurück zur Pizza. Du kennst jetzt die Formel, mit der du den Flächeninhalt eines Kreises ausrechnen kannst.

Zwei Kreise mit unterschiedlichem Durchmesser | Bild: BR

Welche Pizza ist nun größer: die Jumbopizza mit einem Durchmesser von 50 cm oder zwei normale Pizzas mit einem Durchmesser von 32 cm?

Kreisfläche berechnen

Pizza 32 cm

Pizza mit Durchmesser 32 cm

Berechnungen zur Kreisfläche | Bild: BR

Gegeben: Durchmesser d = 32 cm, Der Radius r ist die Hälfte des Durchmessers, also 16 cm.

Gesucht: Flächeninhalt A der Pizza

In der Grafik siehst du, wie du den Flächeninhalt der Pizza berechnest.

Ergebnis: Der Flächeinhalt dieser Pizza beträgt 803,84 cm².

Pizza 50 cm

Jumbopizza mit Durchmesser 50 cm

Berechnungen zur Kreisfläche | Bild: BR

Gegeben: Durchmesser d = 50 cm. Der Radius r ist die Hälfte des Durchmessers, also 25 cm.

Gesucht: Flächeninhalt A der Pizza

In der Grafik siehst du, wie du den Flächeninhalt der Pizza berechnest.

Ergebnis: Der Flächeinhalt der Pizza beträgt 1962,50 cm².

Lösung

Lösung

Zwei Kreise mit unterschiedlichem Durchmesser | Bild: BR

Eine Pizza mit einem Durchmesser von 32 cm hat den Flächeninhalt 803,84 cm². Damit haben zwei Pizzas dieser Größe den Flächeninhalt 1607,68 cm².

Die Jumbopizza mit dem Durchmesser 50 cm hat einen Flächeninhalt von 1962,50 cm².

Flächenvergleich: 1962,50 cm² (Jumbopizza) > 1607,68 cm² (zwei normale Pizzas)

Lösung: Es ist günstiger die Jumbopizza zu kaufen, da sie größer ist als zwei normale Pizzas und gleich viel kostet.

Der Radius eines Kreises

Wenn du den Flächeninhalt eines Kreises kennst, kannst du auch seinen Radius berechnen. Hier ein Beispiel:

Radius berechnen

Berechnungen zur Kreisfläche | Bild: BR

Gegeben: Kreisfläche = 2826 cm²

Gesucht: Radius r

In der Grafik kannst du sehen, wie du den Radius r des Kreises berechnest. Dazu musst du die Formel so umstellen, dass r auf einer Seite steht.

Ergebnis: Der Radius des Kreises beträgt 30 cm.


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