alpha Lernen - Physik

Linsen & Spiegel Übungen zur Funktionsweise von Fernrohren

Von: Christian Döllinger, Monika von Aufschnaiter

Stand: 14.03.2020

Symbol | Bild: Angela Smets/BR

Aufbau Keplersches Fernrohr

Wie ist ein einfaches Linsenfernrohr (Keplersches Fernrohr) aufgebaut?

Lösung

Das sogenannte Keplersche Fernrohr besteht in seiner einfachsten Form aus zwei Sammellinsen (oder - zur Vermeidung von Abbildungsfehlern - Linsenkombinationen, die insgesamt jeweils wie eine Sammellinse wirken), dem Objektiv (das dem beobachteten Gegenstand zugewandt ist) und dem Okular, durch das der Beobachter blickt.

Eigenschaften von Zerstreuungslinsen

Welche Art von Bildern erzeugen Zerstreuungslinsen? Was ist der virtuelle Brennpunkt einer Zerstreuungslinse?

Lösung

Zerstreuungslinsen weiten im Gegensatz zu Sammellinsen aufgrund ihrer konkaven Wölbung ein auftreffendes Lichtbündel auf, "zerstreuen" gewissermaßen das Lichtbündel. Dabei werden Lichtstrahlen, die parallel zur optischen Achse auf eine Zerstreuungslinse treffen, so abgelenkt als würden sie von ein und demselben Punkt auf der optischen Achse kommen. In Analogie zum Brennpunkt einer Sammellinse bzeichnet man diesen Punkt als virtuellen Brennpunkt der Zerstreuungslinse. Jede Zerstreuungslinse besitzt zwei virtuelle Brennpunkte im gleichen Abstand von der Linse. Da die beiden Brennpunkte aber auf der entgegengesetzten Seite wie bei einer Sammellinse liegen, wird die Brennweite einer Zerstreuungslinse mit einem negativen Vorzeichen versehen.

Für die zeichnerische Darstellung einer Abbildung durch eine Zerstreuungslinse kann man dieselben Hauptstrahlen verwenden wie bei einer Sammellinse. Diese Strahlen gehören zu einem Lichtbündel, das von einem Gegenstandspunkt ausgeht. Allerdings unterscheiden sich die Strahlenverläufe bei beiden Linsenformen – bis auf den Mittelpunktsstrahl, der bei beiden Linsenarten ohne Ablenkung durch die Linse geht:

Bei einer Zerstreuungslinse verläuft ein Parallelstrahl hinter der Linse so, als käme er vom virtuellen Brennpunkt her. Ein Brennpunktstrahl ist auf den auf der anderen Seite liegenden virtuellen Brennpunkt gerichtet und verläuft hinter der Linse parallel zur optischen Achse. Diese Gesetzmäßigkeiten kann man zur Bildkonstruktion bei Zerstreuungslinsen verwenden:

Das von einer Zerstreuungslinse erzeugte Bild kann nur beobachtet werden, wenn man in die Linse blickt, es ist also virtuell, außerdem verkleinert und – wie alle virtuellen Bilder – aufrecht. 

Eine Zerstreuungslinse erzeugt von einem Objekt in der Regel ein virtuelles, aufrechtes und verkleinertes Bild.

Anmerkung: Auch mit Hilfe der aus der Linsenformel gewonnenen Beziehung für die Bildweite in Abhängigkeit von der Gegenstands- und Brennweite erkennt man, dass das Bild virtuell sein muss. Es gilt: b = g · f / (g – f);
Da die Brennweite f einer Zerstreuungslinse negativ ist, wird der Zähler g · f des Bruches negativ. Der Nenner ist stets positiv, der Quotientenwert insgesamt also negativ. Dies bedeutet, dass die Bildweite negativ ist und das Bild somit auf derselben Seite wie der Gegenstand liegt – was nur auf virtuelle Bilder zutrifft.

Linse & Kerzenflamme

Eine Kerze, deren Flamme 5 cm hoch lodert, steht 30 cm vor einer Linse mit einer Brennweite von f = - 10 cm. Was kann man über das von der Linse entworfene Bild der Kerzenflamme aussagen?

Lösung

Da die Brennweite der Linse negativ ist, handelt es sich um eine Zerstreuungslinse, das Bild ist demnach virtuell (kann also nicht auf einem Schirm sichtbar gemacht werden), sondern ist nur beim Blick in die Linse zu sehen; es ist verkleinert und aufrecht. Bildweite und Bildgröße ergeben sich aus den von der Sammellinse her bekannten Beziehungen
b = g · f / (g – f)
Bildweite: b = g · f / (g – f)
b = 5 cm · (-10 cm) / [30 cm - (-10 cm)]
b = -150 cm² / 40 cm = -7,5 cm
Bildgröße: B / G = b / g;  B = G · (b/g) = 5 cm · (-7,5 cm : 30 cm) = -1,25 cm

Das Minus-Zeichen bedeutet, dass es sich um ein virtuelles, aufrechtes Bild handelt. Die Zerstreuungslinse entwirft also von der Kerzenflamme ein 1,25 cm hohes aufrechtes virteulles Bild in 7,5 cm Abstand vor der Linse.  

Zerstreuungslinse & reelles Bild

Kann eine Zerstreuungslinse von einem Objekt ein reelles Bild erzeugen?

Lösung

Dies ist im Zusammenwirken mit einer Sammellinse möglich.
Beispiel: Die Sonne wird mit einer Sammellinse großer Brechkraft abgebildet. Ihr Bild liegt in der Brennebene der Linse. Hält man zwischen Sammellinse und deren Brennpunkt eine Zerstreuungslinse geringerer Brechkraft, so erhält man ein reelles Bild der Sonne in größerer Entfernung. Die Zerstreuungslinse kann das stark konvergente, auffallende Lichtbündel zwar aufweiten, es bleibt aber konvergent, so dass sich die durch die Zerstreuungslinse fallenden Lichtstrahlen hinter der Linse trotz deren zerstreuender Wirkung schneiden.

Reell oder virtuell?

Eine Linse entwirft von einem 2,50 m entfernten Gegenstand ein Bild in 50 cm Entfernung von der Linse auf der anderen Seite. Ist das Bild reell oder virtuell? Berechne die Brennweite der Linse!

Lösung

Es handelt sich um eine Sammellinse, da Gegenstand und Bild auf verschiedenen Seiten der Linse liegen, die Bildweite b also positiv ist. Die Brennweite f der Linse ergibt sich aus der Linsenformel
1 / f = 1 / g + 1 / b
1 / f  = 1 / 250 cm + 1 / 50 cm = 0,024 cm
f = 1 / 0,024 cm = 41,7 cm

Fernrohr bauen - Rechenaufgabe

Du möchtest Dir aus den Gläsern zweier Lesebrillen mit den Brechstärken +2 und +5 Dioptrien ein Fernrohr bauen.
Welche der beiden Linsen solltest du als Objektiv hernehmen? Welche Vergrößerung könnte ein so gebautes Fernrohr maximal erzielen?

Hinweis: Mithilfe der Dioptrien-Werte (die der Brechkraft D entsprechen) kannst du die Brennweiten berechnen nach der Formel: f = 1/D m.

Lösung

Da die Brechkräfte der beiden Linsen mit einem + versehen sind, handelt es sich bei beiden Linsen um Sammellinsen (die Brillen waren daher für Weitsichtige vorgesehen). Den angegebenen Brechkräften in Dioptrien kann man die Brennweiten der beiden Linsen entnehmen: 

Linse 1: +2 Dioptrien entsprechen einer Brennweite von f  = ½ m = 50 cm                         
Linse 2: +5 Dioptrien entsprechen einer Brennweite von f = 1/5 m = 20 cm

Als Objektiv wird die Linse mit der größeren Brennweite, also die mit einer Brennweite von 50 cm eingesetzt.

Die (maximale) Vergrößerung v, die mit einem Fernrohr erzielt werden kann, ergibt sich aus den Brennweiten des Objektivs und des Okulars: 

v = fObjektiv / fOkular  (für Sammellinsen)

In unserem Falle ergibt sich für die Vergrößerung: v = 50 cm / 20 cm  = 2,5, das heißt: Das aus den Brillengläsern zusammengesetzte Fernrohr hat eine (maximale) Vergrößerung vom Faktor 2,5.

Linsenfernrohre

Warum sind leistungsfähige Refraktoren (Linsenfernrohre) – wie das im Film gezeigte Fernrohr, mit dem der Planet Neptun entdeckt wurde – außergewöhnlich lang?

Lösung

Die Vergrößerung eines Refraktors ist umso größer, je größer die Brennweite des Objektivs und je kleiner die des Okulars ist. Die Länge des Refraktors ist gleich der Summe der Brennweiten der beiden Linsen, da für die Beobachtung mit "entspanntem Auge" die Brennpunkte von Objektiv und Okular zusammenfallen müssen (der Beobachter sieht das Bild dann "im Unendlichen").  Eine starke Vergrößerung erzielt man vor allem mit einer großen Brennweite des Objektivs. Die Brennweite des Okulars darf man nicht zu klein wählen, da sich andernfalls die Abbildungsqualität verschlechtern würde. Leistungsfähige Refraktoren haben Objektivbrennweiten bis zu einigen Metern und sind deshalb entsprechend lang.

Unteschied Keplersches und Galilei-Fernrohr

Wodurch unterscheiden sich grundsätzlich die Bilder bei einem Galileischen Fernrohr von denen, die ein Keplersches Fernrohr erzeugt?

Lösung

Ein Keplersches Fernrohr liefert umgekehrte Bilder. Bei astronomischen Beobachtungen stört die entgegengesetzte Orientierung von Bild und Gegenstand nicht, wohl aber bei der Betrachtung von Objekten auf der Erde, da das durch das Okular beobachtete Bild des Gegenstandes auf dem Kopf steht.

Anmerkung: Durch einen Kunstgriff kann auch das Keplersche Fernrohr aufrechte Bilder erzeugen. Dazu muss man zwischen Objektiv und Okular eine dritte Sammellinse, eine sogenannte Feldlinse einbauen. Bei Erdbeobachtungen ist der Abstand zwischen betrachtetem Objekt und Objektiv so groß, dass das reelle Zwischenbild auf dem Kopf stehend in dessen Brennebene erscheint. Nun gilt es, die Feld- oder Umkehrlinse so zu platzieren, dass die Umkehrung aufgehoben wird: Das ist der Punkt in doppelter Entfernung der Brennweite der Feldlinse (gemessen vom Brennpunkt des Objektivs aus). Platziert man die Feldlinse an diesen Punkt, bildet sie das reelle Zwischenbild auf ein gleich großes, aufrechtes reelles Bild ab, das man durch das Okular sehen kann. Durch die zweimalige Bildumkehr ist das Endbild aufrecht. Fernrohre mit Umkehrlinse wurden vor der Entwicklung der Prismenfernrohre zum Beispiel als Operngläser verwendet.

Galileisches Fernrohr

Ein Galileisches Fernrohr mit einer Zerstreuungslinse als Okular weist diesen Nachteil nicht auf: Sie wird zwischen dem Objektiv und dessen Brennpunkt eingebaut, so dass die Zerstreuungslinse die vom Objektiv gebündelten Strahlen vor deren Vereinigungspunkt auffängt und somit direkt ein aufrechtes virtuelles Bild des Gegenstandes erzeugt.