Einführung in die Integralrechnung Flächenberechnung - Parabelbogen
Die Strategie "Rechtecksbildung – Summieren – Verfeinern", die bisher nur auf lineare Funktionen angewendet wurde, soll nun auf die Aufgabe vom Anfang, die Berechnung der Fläche zwischen einer waagrechten, einer senkrechten Strecke und einem Parabelbogen angewendet werden.
Bestimmung der Obersumme von 5 Rechtecken
Dazu wird das gleiche Verfahren angewendet, wie bei der Bestimmung der Dreiecksfläche: Die eingeschlossene Fläche wird zunächst in fünf Rechtecke zerlegt, die über den Graphen hinausragen, ihre Obersumme O5 beträgt 55.
Bestimmung der Untersumme von 5 Rechtecken
Die entsprechende Untersumme U5 der fünf den Graphen berührenden Rechtecke beträgt dagegen 30.
Zerlegung der Fläche in n Rechtecksflächen
Dieses Verfahren wird nun nicht mit dem PC, sondern als Berechnung für einen allgemeinen Wert x0 der Funktion f(x) = x2 fortgesetzt. Teilt man die Stecke von 0 bis x0 auf der x-Achse in n Abschnitte, so hat jeder Abschnitt die Breite x0/n. Das erste Rechteck reicht dann von 0 bis 1· x0/n, das zweite von 1· x0/n bis 2·x0/n usw. und das n-te Rechteck bis n·x0/n, d.h. bis x0. Die Höhe des ersten Rechtecks errechnet sich zu (1·x0/n)2.
Berechnung der Höhen der Teilrechtecke
Das zweite Rechteck hat dann die Höhe (2·x0/n)2, das (n-1)te Rechteck die Höhe ((n-1)·x0/n)2 und das n-te Rechteck die Höhe (n·x0/n)2.
Berechnung der Obersumme von n Rechtecksflächen - klicken Sie bitte auf die Lupe.
Die Obersumme On ergibt sich aus der Summe der n Rechtecke zu
On = (x0/n)(1·x0/n)2 + (x0/n)(2·x0/n)2 + ... + (x0/n)((n-1)·x0/n)2 + (x0/n)(n·x0/n)2.
Zunächst wird ausgeklammert.
Bei der Berechnung dieser Summe lässt sich zunächst x03/n3 ausklammern und wir erhalten:
On = (x03/n3)(12 + 22 + ... + (n-1)2 + n2).
Durch die vollständige Induktion erhält man einen vereinfachten Zusammenhang für n
Nach der Regel der vollständigen Induktion lässt sich der Ausdruck (12 + 22 + ... + (n-1)2 + n2) durch n(n+1)(2n+1)/6 ersetzen und wir erhalten
On = (x03/n3)(n(n+1)(2n+1)/6 .
Zusammenfassung der Faktoren, die x bzw. n enthalten
Wenn der Bruch mit 1/n3 multipliziert wird, erhalten wir
On = x03·(n(n+1)(2n+1)/6n3.
Umformung der Gleichung
Um die Rechtecke immer mehr zu verfeinern, muss n gegen Unendlich gehen, dazu formen wir die Gleichung in mehreren Schritte um und erhalten schließlich
On = (x03/6)(2+3/n+1/n2).
Ergebnis der Obersumme nach der Grenzwertbildung
Für n => ∞ gilt 3/n => 0 und 1/n2 => 0 und wir erhalten letztlich On = x03/3 .
Formel zur Berechnung der Fläche unter dem Parabelbogen
Führt man die gleiche Berechnung für die Untersumme Un durch, so erhält man auch hier den Grenzwert x03/3, Un also = x03/3 für n => ∞. Für einen beliebigen Wert x0 erhalten wird also F0(x0) = x03/3 und damit lässt sich die Fläche zwischen dem Parabelbogen, der x-Achse und der Parallele zur y-Achse durch x0 berechnen.
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