Warum haben Konservendosen fast immer das gleiche Verhältnis von Durchmesser und Höhe?

Sieht man sich im Lebensmittelhandel um, so findet man für die gängige Konservendose mit 850 ml Inhalt nur sehr selten Formen, wie die beiden gelben Modelle, die gängige Ausführung zeigt die handelsübliche Blechdose. Warum ist das so?

Gesucht: die minimale Oberfläche

Die Oberfläche besteht aus zwei Kreisscheiben und dem Zylindermantel, einem Rechteck.

Die Hersteller wollen bei solch einem Massenartikel bei gegebenem Volumen die Oberfläche dieses Zylinders möglichst klein halten, um Material zu sparen. Gesucht wird also die minimale Oberfläche O_minimal .

Der Zylinder setzt sich aus Boden und Deckel jeweils mit dem Radius r und der Fläche F_Kreisscheibe = π r² zusammen sowie aus dem rechteckigen Zylindermantel mit der Fläche F_Mantel = 2π r·h . Die gesamte Oberfläche kann also durch die Formel O = 2·π r² + 2π r·h berechnet werden.

Nebenbedingung

Die Oberfläche des Zylinders als Funktion des Deckel- bzw. Bodenradius r

Hier tauchen allerdings zwei Variable auf, r und h, so dass h durch einen anderen Zusammenhang ausgedrückt werden muss. r und h sind auch noch durch die Formel für das Volumen verknüpft, V = π·r²·h, in diesem speziellen Fall mit V = 850 gilt also 850 = π·r²·h bzw. h = 850/ π·r². Setzt man h in die Gleichung O = 2·π r² + 2π r·h ein, so ergibt sich für die Oberfläche in Abhängigkeit von r die Funktion 2·π r² + 2π r·850/π r².

Den zweiten Zusammenhang zwischen r und h, h = 850/ π·r², bezeichnet man als Nebenbedingung.