Optimierungsaufgaben gibt es aber nicht nur für geometrische Probleme, sondern z.B. auch in der Wirtschaft.

Kann ich durch eine Preissenkung der Zeitschrift meinen Gewinn erhöhen?

Als Beispiel wird ein Zeitungsverlag angeführt, der seinen Gewinn dadurch erhöhen will, das er mehr Kunden gewinnt. Der Verlag verdient pro Kunde 50.- DM/Jahr. Marktuntersuchungen besagen, dass bei einer Preissenkung von 1.- DM pro Zeitschrift 100 Kunden dazu gewonnen werden. Nach dieser Preissenkung will das Unternehmen seinen Gewinn weiter steigern und senkt den Preis pro Zeitschrift nochmals, doch nun sinkt der Gesamtgewinn. Offensichtlich wurde hier das Maximum des Gewinns überschritten.

Formulierung der Extremalbedingung

Extremalbedingung für den Gewinn

Um die Extremalbedingung zu formulieren, werden zunächst die bekannten Größen aufgeschrieben. Der Gewinn G ist das Produkt aus der Zahl K der Kunden und dem Gewinn/Kunde g , G = K · g . Der Kundenstamm beträgt 2000 Kunden und der Gewinn/Kunde beträgt 50.- DM. Wenn man den Gewinn/Kunde um 1.- DM verringert, gewinnt man 100 Kunden dazu, mathematisch formuliert: G₁ = (2000 + 100)(50 – 1). Wird der Preis nochmals um 1.- DM gesenkt, so gewinnt man weitere 100 Kunden hinzu, jetzt ist der Gewinn G₂ = (2000 + 100·2)(50 – 2).

Allgemein formuliert beträgt der Gewinn also bei diesem Beispiel für eine Preissenkung x: G_x = (2000 + 100·x)(50 – x). Ausmultipliziert erhalten wir G_x = 100000 + 3000x – 100x² .

Graph der Funktion G(x)

Der Graph dieser Funktion G_x am Computerbildschirm zeigt, dass es ein Maximum E dieser Funktion gibt.

Ermitteln der Koordinaten

Berechnung der optimalen Preissenkung

Die Koordinaten dieses Punkts E ermitteln wir durch die gewohnte Extremwertberechnung. Wir bilden die 1. Ableitung G'_x = 3000 – 200x, für G'_x = 0 gilt dann x = 15. Für die 2. Ableitung gilt G’’x = - 200, also G’’x  ist negativ, d.h. es handelt sich bei dem Punkt E um ein Maximum. Setzen wir x = 15 nun in die ursprüngliche Funktion ein, so erhalten wir den optimalen Gewinn zu 122500.- DM.