Telekolleg - Mathematik


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Ableitungsfunktion in Anwendungen Steigung und Winkelmaß

Wer das Steigungsdreieck vor Augen hat, kann sich etwas unter einem Steigungsfaktor vorstellen. Wer das nicht kann, dem verraten wir einen Trick - der Tangens spielt dabei eine Rolle ...

Stand: 18.03.2013 | Archiv

Tangente mit der Steigung m = 4,2 (Klicken Sie bitte auf die Lupe)

Wer das Steigungsdreieck immer vor Augen hat, kann sich unter einem Steigungsfaktor 4,2 sicher etwas vorstellen. Es ist ein Steigungsdreieck mit einer Einheit nach rechts und 4,2 Einheiten nach oben. Die Tangente an die Funktionskurve würde dann an der Stelle x =  3,58 so verlaufen wie in nebenstehender Abbildung. Entsprechend sähe es an der Stelle x = -3,58 mit dem Steigungsfaktor minus 4,2 eins nach rechts und 4,2 nach unten aus – klicken Sie bitte auf nebenstehende Abbildung.

Berechnung des Winkelmaßes

Berechnung des Winkelmaßes (Klicken Sie bitte auf die Lupe)

Falls Sie sich unter einer Steigung erst dann etwas vorstellen können, wenn Sie die Steigungsangabe mit einem Winkelmaß verbinden können, dann rufen Sie sich bitte in Erinnerung: Der Steigungsfaktor m ist nichts anderes, als der Tangens des Steigungswinkels. Das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Tangentenabschnitt als Hypotenuse, der x-Achsenrichtung 1 als Ankathete und der f(x)-Achsenrichtung 4,2 als Gegenkathete des Steigungswinkels alpha. Der Tangens des Winkels alpha ist Gegenkathete durch Ankathete - so steht es auch in ihrer Formelsammlung. Demnach ist der Tangens von alpha gleich 4,2 durch 1, also 4,2. Und das ist genau der über die Ableitung ermittelte Steigungsfaktor m. Mit dem Taschenrechner ermitteln wir den dazugehörigen Winkel alpha. Je nach Taschenrechnerfabrikat geht das über die Shift-Taste oder die Invers-Taste. Der Zahlenwert 4,2 für den Tangens von alpha führt zu einem Winkelmaß von 76,6 Grad. Entsprechend erhalten wir für die linke Startkante unserer Skaterbahn: Tangens beta = -4,2 und beta = -76,6 Grad.

Steigung oder keine Steigung?

Ermittlung der Steigung in einem Abstand 0,5 Meter von der Symmetrieachse (Klicken Sie bitte auf die Lupe)

Obwohl die Skaterbahn im mittleren Bereich nahezu waagrecht zu verlaufen scheint, können wir diese Vermutung mit unserer Steigungsermittlung über die Ableitung der Skaterbahnfunktion widerlegen. Mit der Ableitungsfunktion ermitteln wir die Steigung der Bahn in einem Abstand 0,5 Meter von der Symmetrieachse – in der Hoffnung, dass sie nicht null ist.

Berechnung von Tangens alpha und dem Winkelmaß (Klicken Sie bitte auf die Lupe)

Für f’ an der Stelle 0,5 berechnen wir – siehe nebenstehende Abbildung - 0,00022. Wir sind zwar nahe an null aber nicht bei null mit unserer Steigung der Skaterbahn. Der dazugehörige Steigungswinkel beträgt Tangens alpha = 0,00022. Es ergibt sich für die Steigung der Bahn ein Winkelmaß von immerhin noch 0,013 Grad (Klicken Sie bitte auf nebenstehende Abbildung).


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