Telekolleg - Mathematik


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Mathematik Rechenoperationen bei Vektoren

In der vorhergehenden Lektion haben Sie Vektoren kennengelernt, jetzt wollen wir damit rechnen. Dass das gar nicht so schwierig ist, zeigen praktische Beispiele.

Stand: 20.12.2017

In der ersten Lektion zur Vektoralgebra haben Sie anhand von Wegen und Geschwindigkeiten Vektoren kennengelernt und addiert. Diese zweite Lektion wird Ihnen ein weiteres Beispiel für Vektoren aus der Physik zeigen: die Kräfte. Sie sollten den Kraftbegriff aus der Physik kennen oder vor der Sendung darüber in einem Physikbuch nachlesen. Das Gleiche gilt für den physikalischen Begriff der Arbeit, der hier verwendet werden wird, um das Skalarprodukt zweier Vektoren zu verdeutlichen. Weiterhin benötigen Sie einige Kenntnisse aus der Trigonometrie: die Kosinusfunktion und den Kosinussatz.

Übersicht über Lektion 8

8.1 Kräfte

Kräfte sind ein weiteres physikalisches Beispiel für Vektoren. Sie können als Pfeile dargestellt und in der gleichen Weise addiert und subtrahiert werden wie Wege und Geschwindigkeiten. Bei praktischen Beispielen muss man bei der Zeichnung zwischen dem Lageplan und dem Kräfteplan unterscheiden. Die Bestimmung der Summenkraft durch das sogenannte Parallelogramm der Kräfte ist nichts anderes als die Vektoraddition.

8.2 Arbeit

Arbeit wird in der Physik definiert als das Produkt von Kraft und Weg, wenn beide gleichgerichtet sind. Sonst darf man zur Berechnung der Arbeit nur den Teil der Kraft heranziehen, der in Richtung des Weges wirkt. Arbeit ist eine skalare Größe und entsteht als Produkt der Beträge von Kraft und Weg mit dem Kosinus des vom Kraft- und Wegvektor eingeschlossenen Winkels.

8.3 Skalarprodukt zweier Vektoren

Wie man das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert, sehen Sie in nebenstehender Abbildung - klicken Sie bitte auf die Lupe. Man kommt auch zu dieser Definition, wenn man von geometrischen Überlegungen ausgeht und dabei den Kosinussatz verwendet. Für das Rechnen mit dem Skalarprodukt von Vektoren gelten nicht immer dieselben Rechenregeln wie für das Zahlenrechnen. Insbesondere gibt es keine Division durch einen Vektor.

8.4 Gesetze der Vektoralgebra

Die zum Teil von den Regeln des Zahlenrechnens abweichenden Gesetze der Vektoralgebra beziehen sich auf die Addition, die Subtraktion und die S-Multiplikation von Vektoren sowie auf deren Skalarprodukt. Betrachtet man die Gesetze als Axiome, d.h. als Grundannahmen, dann lässt sich damit das Skalarprodukt auch abstrakt einführen.

Die komplette Sendung sehen Sie oben als Video - klicken Sie bitte auf den Pfeil.


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