Telekolleg - Mathematik


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Mathematik Vektoren: Berechnung von Flächen und Volumina

In dieser Lektion geht es zum letzten Mal um das Thema Vektorrechnung: Wie kann man beliebig im Raum liegende Dreiecksflächen berechnen? Wie berechnet man das Volumen eines Parallelflachs oder einer Pyramide?

Stand: 20.12.2017

Übersicht über Lektion 13

13.1. Wiederholung der Grundlagen

Bevor wir uns mit Flächen- und Volumenberechnung befassen, zunächst eine Wiederholung der Begriffe Skalarprodukt und Kreuzprodukt beziehungsweise Vektorprodukt.

In dieser Lektion geht es zum letzten Mal um das Thema Vektorrechnung. Hierzu zunächst eine Wiederholung der Begriffe Skalarprodukt und Kreuzprodukt beziehungsweise Vektorprodukt.

Das Skalarprodukt

Skalarprodukt und Kreuzprodukt  | Bild: BR

Skalarprodukt

Unter dem skalaren Produkt zweier Vektoren versteht man eine Zahl, die sich aus dem Produkt der Vektorbeträge und dem Cosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels ergibt.

Diesen Zahlenwert erhalten wir aber auch, wenn man beide Vektoren nach der uns bekannten Art, wie in der Formelsammlung beschrieben, multipliziert.

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Wenn man die Koordinatenachsen mit x1, x2 und x3 bezeichnet, multipliziert man Vektor a mit ax1, ax2 und ax3 und Vektor b mit bx1, bx2 und bx3, Natürlich könnte man die Achsen auch mit x, y und z angeben. Aber das wissen sie bereits, dass die Bezeichnungen frei gewählt werden können.

Laut Formelsammlung werden bei der Berechnung des skalaren Produktes zweier Vektoren die Komponenten der gleichen Zeilen miteinander multipliziert und die Produkte addiert.
Und das führt zu dem Ergebnis ax mal bx plus ay mal by plus az mal bz.

Vektorprodukt zweier Vektoren

In der Formelsammlung ist die genaue Rechenoperation dargestellt. Merken sollte man sich, dass das skalare Produkt zweier Vektoren immer einen festen Zahlenwert als Ergebnis hat, das Vektorprodukt hingegen immer einen Ergebnisvektor. Und ganz wichtig: Der Betrag des Vektorproduktes zweier Vektoren entspricht der Maßzahl der Fläche, die von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Der Flächenmaßzahl eines Parallelogramms.

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