Aufgabe

Eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche
A = 2304 cm² hat eine Oberfläche von 6144 cm².

Berechne:

a. die Mantelfläche
b. die Seitenhöhe
c. die Körperhöhe

a. Mantelfläche

Mantelfläche = Oberfläche - Grundfläche
M = 6144 cm² - 2304 cm²
M = 3840 cm²

Antwort:
Die Mantelfläche beträgt 3840 cm².

b. Seitenhöhe

Länge der Grundseite:

A (Quadrat) = a²
2304 = a²    | √
48 cm = a

Hinweis: Bei einem Dreieck wird die Grundseite meist mit g bezeichnet. Sie entspricht der eben berechneten Seite a.

Die Mantelfläche der Pyramide besteht aus vier Dreiecken:

Mantelfläche = 4 · Dreiecksfläche
Mantelfläche = 4 · Grundseite g · Höhe s : 2
M = 4 · (g · h) : 2
3840 = 4 · (48 · h) : 2
3840 = 192 · h : 2
3840 = 96 · h      | : 96
40 = h

Antwort: Die Seitenhöhe s beträgt 40 cm.

c. Körperhöhe

Satz des Pythagoras:
a² + b² = c²

Die Länge der Grundseite a hast du in Schritt b berechnet (a = 48 cm). Im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck findest du sie als Kathete wieder, allerdings halbiert bis zum Mittelpunkt (also: a = 24 cm).

Die Seitenhöhe der Pyramide (blaue Linie) ist gleichzeitig die Hypotenuse des eingezeichneten rechtwinkligen Dreiecks (c = 40 cm):

a² + b² = c²
24² + b² = 40²
576 + b² = 1600   | - 576
b² = 1024              | √
b = 32 cm

Antwort: Die Körperhöhe beträgt 32 cm.