Grips


5

GRIPS Mathe 17 Zusammengesetzte Figuren

Stand: 26.10.2011 | Archiv

Illustration GRIPS Mathelehrer- Lektion 17 | BR | Bild: BR

Auf dieser Seite zeigen wir dir, wie du Figuren berechnest, die sich aus mehreren Formen zusammensetzen. Mathematisch heißen diese einzelnen Formen "ebene Figuren". Das Lösungsschema bei zusammengesetzen Figuren ist immer ähnlich. Meist geht es darum, einzelne geometrische Grundformen herauszulösen, sie zu ergänzen oder sie voneinander abzuziehen, um die Gesamtfläche berechnen zu können.

Bei der nächsten Aufgabe soll die Fläche einer zusammengesetzten Figur berechnet werden. Dazu zerlegst du die Figur einfach in ihre Teilflächen und berechnest deren Flächeninhalte. Anschließend addierst du die einzelnen Teilflächen. Das Ergebnis ist die Gesamtfläche der Figur.

Aufgabe

Hier siehst du eine Figur, die sich aus mehreren Formen zusammensetzt. Berechne die Fläche dieser Figur!
Hinweis: Die Lösung erfährst du im grauen Kasten darunter.

Lösung

Ausgangsfigur

Größenangaben

In der Grafik siehst du die Größenangaben für die einzelnen Teilflächen der Figur (in Zentimeter).

Zur Berechnung des Flächeninhalts der gesamten Figur, berechnest du erst ihre Teilflächen und addierst diese am Schluss.

Kopf

Teilfläche 1

Der Kopf ist ein Kreis mit einem Radius von r = 2,5 cm.

Flächeninhalt Kopf:

A = r · r · π
A = 2,5 · 2,5 · 3,14
A = 19,625 cm²

Beine

Teilfläche 2

Die "Beine" bestehen aus zwei Parallelogrammen. Die Höhe der Parallelogramme ist unbekannt.

Allerdings entspricht die Höhe der Parallelogramme der Höhe des eingezeichneten orangenen Dreiecks (siehe Abbildung).

Die Höhe des Dreiecks kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

a² + b²            = c²
a² + 3,6²         = 6²
a²                    = 6² - 3,6²
a²                    = 23,04     / √
a                     = 4,8 cm

Jetzt kannst den Flächeninhalt der Beine berechnen. Da es zwei Beine (Parallelogramme) sind, multiplizierst du den Flächeninhalt mit zwei:

A = g · h · 2
A = 2,5 · 4,8 · 2
A = 24 cm²

Arme

Teilfläche 3

Nun kommen die Arme dran. Diese setzen sich aus zwei Rechtecken zusammen.

Die Länge des Rechtecks kannst du direkt ablesen (3,6 cm).

Die Breite musst du erst berechnen:
12,5 cm – 6 cm – 4,8 cm = 1,7 cm

Nun kannst du den Flächeninhalt eines Rechtecks leicht berechnen:

A = a · b · 2
A = 3,6 · 1,7 · 2
A = 12,24 cm²

Rumpf

Teilfläche 4

Zum Schluss fehlt nur noch der "Rumpf". Wieder musst du nur ein Rechteck berechnen:

A = a · b
A = 5  · 7,7
A = 38,5 cm²

Gesamte Figur

Gesamtfläche

Abschließend zählst du einfach die Teilflächen zusammen:

A = 19,625 cm² + 24 cm² + 12,24 cm² + 38,5 cm²

A = 94,365 cm²


Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von 94,365 cm².


5