ARD-alpha - Grundkurs Mathematik


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Grundkurs Mathematik (14) 14.5. Berechnung ohne gegebenem Winkel/Seite

Zum Abschluss ein Beispiel aus der Praxis für die Anwendung des Sinussatzes. Wir blicken Vermessungsingenieuren über die Schulter ...

Von: Heinz Gascha

Stand: 13.04.2019 | Archiv

Geheimnisvolle Theodoliten: Wollten Sie auch schon immer einmal wissen, was Vermessungsingenieure mit ihren Geräten auf der grünen Wiese genau machen? Das Video verrät es. 
Doch bevor wir vom Vermessungsbeamten das Ergebnis gesagt bekommen, wollen wir selbst versuchen, die Abstände vom Grenzstein 1 zum Grenzstein 3 sowie vom Grenzstein 2 zum Grenzstein 3 zu bestimmen.

Vergleichen Sie nebenstehende Skizze: Die Grenzsteinpositionen 1,2 und 3 bezeichne ich dabei mit groß A, B und C. Von A nach B wurde eine Länge von 460 Meter gemessen. Der Winkel bei A hatte das Maß 42 Grad und der Winkel bei B das Maß 71 Grad. Es ist kein Pärchen Seite und gegenüberliegender Winkel zu sehen. Sind wir somit nicht in der Lage, die Längen von A nach C und B nach C zu berechnen? Doch ...!

Berechnung ohne Seite und gegenüberliegendem Winkel

Berechnung von Gamma: Bitte klicken Sie auf die Lupe

Im Dreieck ABC sind zwei Winkel bekannt, somit lässt sich doch der dritte Winkel über die Winkelsumme im Dreieck ermitteln. Wir nennen den Winkel bei C Gamma und erhalten 42 Grad plus 71 Grad plus Gamma gleich 180 Grad.

Die Winkel addiert, ergibt sich 113 Grad plus Gamma ist 180 Grad. Und auf beiden Seiten 113 Grad subtrahiert, führt zu einem Winkel Gamma mit 67 Grad.

Hilfsmittel: Innenwinkelsumme im Dreieck

Somit haben wir ein Pärchen aus Winkel und gegenüberliegender Seite. Wir können also über den Sinussatz die Länge der Strecke von A nach C und B nach C berechnen. Wir beginnen mit der Länge der Strecke von A nach C.

Berechnung: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Der Sinussatz dazu lautet: Länge der Strecke AC zu Sinus 71 Grad ist gleich 460 Meter - aber jetzt ohne Einheiten geschrieben - zum Sinus von 67 Grad. Mit Sinus 71 Grad multipliziert: AC ist 460 durch Sinus 67 Grad mal Sinus 71 Grad. Der Taschenrechner liefert für die Länge der Strecke von A nach C das Ergebnis: 472,5 Meter.

Erneute Anwendung des Sinussatzes im allgemeinen Dreieck

Hätten wir ein rechtwinkliges Dreieck, könnten wir die Länge der dritten Seite über den Lehrsatz von Pythagoras bestimmen. Aber wir haben hier ein allgemeines Dreieck. Und somit bleibt uns nichts anderes übrig, als den Sinussatz nochmals anzuwenden:

Berechnung der Strecke BC über den Sinussatz

BC zu Sinus 42 Grad ist gleich 460 zu Sinus 67 Grad. Über die vorher durchgeführten Umwandlungen kommen wir für die Länge der Strecke von B nach C auf ein Maß von 334,4 Meter. Ob der Vermessungsbeamte zu einem ähnlichen Ergebnis kommt?

Und hier nun das Ergebnis der Vermessung:


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