ARD-alpha - Grundkurs Mathematik


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Grundkurs Mathematik (14) 14.4. Anwendung des Sinussatzes

Nach so viel Theorie wollen wir jetzt den Sinussatz anwenden. Wir ermitteln in einem speziellen Dreieck die fehlenden Bestimmungsstücke.

Von: Heinz Gascha

Stand: 13.04.2019 | Archiv

Nach soviel Theorie wollen wir nun an einem speziellen Dreieck die fehlenden Bestimmungsstücke ermitteln. Nehmen wir an, wir haben ein Dreieck ABC mit Winkel Alpha gleich 40 Grad, der Seitenlänge a gleich sieben Zentimeter und der Seitenlänge b gleich fünf Zentimeter.

Gegebener Winkel und gegenüberliegende Seite

Das gegebene Dreieck: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Für den Sinussatz benötigen wir ein gegebenes Pärchen aus Winkel und gegenüberliegender Seite. Betrachten Sie nebenstehende Abbildung: Alpha und a passen. Zu b gehört der Winkel Beta. Also berechnen wir Beta. Mit dem zu berechnenden Teil beginnen wir: Sinus Beta verhält sich zur Seite b wie Sinus Alpha zur Seite a.

Wir schreiben Sinus Beta als erstes links oben, weil wir uns beim Umformen nach der gesuchten Größe, hier Winkel Beta, leichter tun. Wir müssen nämlich nur noch mit b multiplizieren und erhalten: "Sinus Beta ist gleich Sinus Alpha durch a und das mal b". Mit unseren gegebenen Größen belegt bedeutet das: Sinus Beta ist gleich Sinus 40 Grad durch a gleich sieben Zentimeter mal b gleich fünf Zentimeter.

Die Längeneinheit kann man für die Berechnung weglassen, da es sich um gleiche Einheiten handelt. Mit dem Taschenrechner ergibt sich Sinus Beta gleich 0,46 und somit der Winkel Beta mit 27,3 Grad.

Anwendung der Innenwinkelsumme

Die Berechnung des Winkels Gamma - klicken Sie bitte auf die Lupe.

Wir kennen nun bereits die Seiten a und b sowie die Winkel Alpha und Beta des Dreiecks. Es fehlen als noch der Winkel Gamma und die Seitenlänge c. Wie schon bekannt, beträgt die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer 180 Grad. Das wenden wir jetzt an.

Alpha plus Beta plus Gamma ist 180 Grad. Mit unseren bekannten Winkelmaßen für Alpha gleich 40 Grad und Beta gleich 27,3 Grad erhalten wir 40 Grad plus 27,3 Grad plus Gamma ist gleich 180 Grad.

Und nach wenigen Umformungen erhalten wir für Gamma das Winkelmaß von 112,7 Grad.

Berechnung der fehlenden Seite

Hiermit kennen wir alle drei Winkel des Dreiecks. Es fehlt noch die Dreiecksseite c. Es fehlt das Längenmaß der dem Winkel Gamma, hier 112,7 Grad, gegenüberliegenden Seite c. Diese beiden bilden ein Pärchen, wie auch fünf Zentimeter mit 27,3 Grad und sieben Zentimeter mit 40 Grad.

Zwei Möglichkeiten der Berechnung

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie man das Längenmaß der Seite c bestimmen kann: Einmal mit a und Alpha, zum anderen mit b und Beta. Wir entscheiden uns zunächst für das Pärchen a und Alpha. Damit die Umformungsarbeit leichter wird, beginnen wir im Zähler mit der gesuchten Seitenlänge c.

Die erste Möglichkeit: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

c verhält sich zu Sinus 112,7 Grad wie a gleich sieben zu Sinus 40 Grad. Mit Sinus 112,7 Grad multipliziert erhalten wir c gleich sieben durch Sinus 40 Grad mal Sinus 112,7 Grad. Der Taschenrechner liefert uns für die Länge der Seite c den Wert 10,05 Zentimeter.

Die zweite Möglichkeit: Bitte klicken Sie auf die Lupe.

Über das Pärchen b und Beta wären wir zu dem gleichen Ergebnis gekommen. Diese Rechnung hätte dann wie in der nebenstehenden Grafik ausgesehen. Auch hier kommen wir zu dem gleichen Ergebnis: c gleich 10,05 Zentimeter.


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