alpha Lernen - Physik

Linsen & Spiegel Übungen zu Linsen

Von: Christian Döllinger, Monika v. Aufschnaiter

Stand: 29.03.2017

Symbol | Bild: Angela Smets/BR

Illustration der Linsenarten für die Rechenbeispiele

Rechenbeispiel Brechkraft/Dioptrien

Berechne die Brennweite einer Bi-Konvexlinse mit n = 1,5 sowie r1 = 10 cm und r2 = -10 cm!

Lösung

1/f = (n – 1) · (1/r1 – 1/r2):

1/f = (1,5 – 1) · [1/10 cm – (- 1/10 cm)]
1/f = 0,5 · 2/10 cm
1/f = 1/10 cm
f = 10 cm

Ihre Brechkraft ergibt sich als Kehrwert der in m umgerechneten Brennweite:

f = 10 cm = 0,1 m

Die Brechkraft der Linse beträgt also 10 Dioptrien.

Rechenbeispiel Plan-Konvexlinse

Bei einer Plan-Konvexlinse ist eine der beiden Linsenflächen eben. Der ebenen Linsenfläche kann man einen unendlich großen Krümmungsradius r2 zuordnen, so dass sich für 1/r2 der Wert 0 ergibt. Berechne die Brennweite und Brechkraft der Linse!

Lösung

   1/f = (1,5 – 1) · [1/10 cm – 0]
   1/f = 0,5 · 0,1 1/cm
   1/f = 0,05 1/cm
     f = 20 cm

Die Brennweite der Plan-Konvexlinse ist doppelt so groß wie die der Bi-Konvexlinse mit gleichen Krümmungsradien. Ihre Brechkraft ist daher nur halb so groß (5 Dioptrien).

Lichtstrahl-Verlauf bei einer Sammellinse

Erläutere mit Text und einer Skizze den Verlauf eines Lichtstrahls beim Durchgang durch eine Sammellinse!

Lösung

Strahlengang durch eine Sammellinse

Ein Lichtstrahl, der auf eine Sammellinse trifft, wird zweimal gebrochen: beim Eintritt und beim Austritt aus der Linse. Man kann sich die Sammellinse aus kleinen Prismenabschnitten und einer planparallelen Platte in der Mitte vorstellen. Zur zeichnerischen Vereinfachung des Strahlenganges bei einer Sammellinse kann man die zweifache Brechung gedanklich ersetzen durch eine einzige Brechung an der Mittelebene der Linse. Für nicht zu dicke Linsen stellt diese Vereinfachung eine gute Näherung an den Strahlenverlauf dar. Bei derartigen Linsen geht der zentrale Strahl geradlinig ohne Richtungsänderung durch die Linse. Bei sehr dicken Linsen würde er nach dem Durchgang durch die Linse parallel verschoben weiterlaufen. Bei einer Bi-Konvex-Sammellinse verläuft dieser Strahl eines einfallenden Lichtbündels durch den Mittelpunkt des Linsenkörpers und heißt Mittelpunktstrahl.

Funktion einer Sammellinse

Welchen Vorteil bietet eine Kamera mit einer Sammellinse als Objektiv gegenüber einer Abbildung mit einer Lochkamera?

Lösung

Ein mit einer Kamera aufgenommenes Bild soll ausreichend hell und scharf sein. Eine Lochkamera kann nicht beides, sehr wohl aber eine Kamera mit Linsenobjektiv: Sie ermöglicht es, die Blendenöffnung zu vergrößern - das Bild wird heller. Gleichzeitig verbessert sich die Abbildungsschärfe. Denn die vor die Blendenöffnung gesetzte Linse bildet jeden Gegenstandspunkt (annähernd) wieder auf einen Punkt auf dem Schirm ab, so dass es zu keiner Überlagerung benachbarter Bilder kommen kann und damit ein scharfes Bild entsteht. 

Bildentstehung bei Sammellinsen

Eine Kerzenflamme soll auf einem transparenten Schirm abgebildet werden.

  1. Wie entsteht mithilfe einer Sammellinse ein Bild?
  2. Was ändert sich, wenn man den Abstand zwischen Kerzenflamme und Schirm verkleinert oder vergrößert?

Lösung

Jeder Punkt der Kerzenflamme strahlt Licht nach allen Richtungen ab. Wir verfolgen etwa das Licht, das von der Spitze der Kerzenflamme ausgeht, wobei die Kerze außerhalb der Brennweite der Linse stehen soll. Ein kleiner Ausschnitt des Lichtes trifft als divergentes Lichtbündel auf die Linse. Hinter der Sammelinse läuft das Lichtbündel zunächst auf einen Punkt zusammen, im weiteren Verlauf dann wieder auseinander. Bringt man einen tranparenten Schirm an die Stelle, wo die Strahlen des auffallenden Bündels nach dem Durchgang durch die Linse auf einen Punkt zusammenlaufen, so sieht man ein scharfes Bild der Kerzenflammenspitze.

Verschiebt man den Schirm ein wenig zur Linse hin oder von ihr fort, so wird das Bild unscharf, das heißt nur an der Stelle, an der sich die Lichtstrahlen in einem Punkt schneiden, entsteht das (scharfe) Bild der Kerzenspitze. So wie von der Spitze der Kerzenflamme gehen von allen Punkten der Kerzenflamme Lichtstrahlen aus, die sich nach dem Durchgang durch die Linse in jeweils einem Punkt, dem zugehörigen Bildpunkt schneiden. Alle Bildpunkte liegen in der selben Entfernung von der Linse, so dass auf dem Schirm das scharfe Bild der Kerzenflamme sichtbar wird. Der Grund: Es kommt zu keiner Überdeckung beim Linsenbild, da Punkte keine Ausdehnung haben.

Anders ist es bei der Lochkamera, bei der die Gegenstandspunkte auf Leuchtflecken abgebildet werden, die sich teilweise überlappen. Somit ist das Linsenbild scharf und aufgrund der größeren Lichtmenge, die durch die Linse im Vergleich zur Öffnung einer Lockkamera tritt, auch lichtstärker.

Den Strahlenverlauf zeichnen

Was muss man wissen, um den Verlauf der Strahlen durch eine Sammellinse zeichnen zu können?

Lösung

Zur Festlegung des Bildes bei einer Sammellinse muss man den Verlauf von mindestens zwei Strahlen kennen: Wo sich die beiden ausgezeichneten Strahlen nach dem Durchgang durch die Linse schneiden, verlaufen auch alle anderen Strahlen des einfallenden, von einem bestimmten Gegenstandspunkt ausgehenden Lichtbündels durch diesen Bildpunkt. Für 3 Strahlen, die sogenannten Hauptstrahlen, lässt sich der weitere Strahlenverlauf angeben:
1. für den Parallelstrahl: Er verläuft hinter der Linse durch den Brennpunkt und wird somit zu einem Brennpunktstrahl.
2. für den Brennpunktstrahl: Der Lichtstrahl innerhalb eines Lichtbündels, der durch den auf derselben Seite der Linsel liegenden Brennpunkt geht, verläuft hinter der Linse parallel zur optischen Achse, wird also zu einem Parallelstrahl
3. für den Mittelpunktstrahl: Er bleibt Mittelpunktstrahl – geht also ohne Richtungsänderung durch die Linse.

Tele- und Normal-Objektiv

Erkläre, warum Teleobjektive länger sind als normale Objektive!

Lösung

Linse mit größerer Brennweite

Die Linse mit der größeren Brennweite erzeugt bei gleicher Gegenstandsweite ein größeres Bild des Gegenstandes. Das Bild liegt dabei weiter hinter der Linse als bei kleinerer Brennweite.

Linse mit kleinerer Brennweite

Da der Abstand Linse-Bild gleich der Bildweite ist, muss bei einer Kamera das Teleobjektiv weiter von der Rückseite der Kamera entfernt sein – daher das im Vergleich zum Normalobjektiv längere Teleobjektiv.

Rechenaufgabe Bildweite und -größe

Die Abbildung durch eine Sammellinse wird durch zwei Gesetzmäßigkeiten beschrieben:
1. den Abbildungsmaßstab: B/G = b/g
2. die Linsenformel: 1/b + 1/g = 1/f

a) Löse Formel 2 nach der Bildweite b auf!
b) Erkläre mithilfe der Formeln, wie die Bildgröße B mit Bildweite b zusammenhängt! Was passiert mit der Bildgröße, wenn die Bildweite größer wird?

Lösung a)

1/b + 1/g = 1/f
1/b = 1/f – 1/g
1/b = (g – f)/(g • f)
b = g•f / (g – f)

Lösung b)

Die Bildweite b ergibt sich als Quotient aus dem Produkt Gegenstandsweite mal Brennweite f der Linse durch die Differenz aus der Gegenstands- und der Brennweite: b = g • f / (g – f)

Interpretation: Je größer - bei gleicher Gegenstandsweite - die Brennweite der Linse ist, desto größer ist das Produkt aus beiden Größen und desto kleiner die im Nenner stehende Differenz*.

Da bei größerer Brennweite f der Zähler des Bruches g • f/(g – f) größer, der Nenner aber kleiner wird, ergibt sich ein größerer Quotientenwert und damit eine größere Bildweite b.

Aus dem Abbildungsmaßstab B/G = b/g ergibt sich durch Auflösen nach der Bildgröße B:
B = b • (G/g)

Da der Quotient G/g aus Gegenstandsgröße und Gegenstandsweite gleich bleiben soll, muss also bei einem größeren Wert für die Bildweite b auch die Bildgröße B größer sein.

* unter der Voraussetzung, dass die Gegenstandsweite größer als die Brennweite der Linse ist

Rechenbeispiel: Tele- und normales Objektiv

Ein 50 cm hoher Gegenstand, der 5 m vor dem Objektiv steht, soll einmal mit einer Linse mit der Brennweite f1 = 50 mm, anschließend mit einem Teleobjektiv mit f2 = 200 mm aufgenommen werden. Berechne jeweils die Bildweite und -größe.

Lösung

f1 = 50 mm = 5,0 cm
b1 = (500 cm • 5,0 cm) / (500 cm – 5,0 cm) = 5,1 cm
B1 = b1 • (G / g) = 5,1 cm • (50 cm / 500 cm) = 0,51 cm

f2 = 200 mm = 20 cm
b2 = (500 cm • 20 cm) / (500 cm – 20 cm) = 21 cm
B2 = b2 • (G/g) = 21 cm • (50 cm / 500 cm) = 2,1 cm

Das Bild erscheint im Teleobjektiv also 4-mal größer als im Normalobjektiv