Stetigkeit und Differenzierbarkeit Beispiele für stetige Funktionen
Wer hemmungslos Schweinshaxen in sich hineinstopft, bekommt früher oder später Probleme. Aber das hat - mathematisch gesehen - auch etwas Gutes: Das zugehörige Diagramm liefert ein schönes Beispiel für eine stetige Funktion.
Die Betragsfunktion ist an den Stellen x = -2 und x = 2 nicht differenzierbar - klicken Sie bitte auf die Lupe.
In der letzten Lektion hatten wir noch eine Funktion, die nicht differenzierbar war: die Betragsfunktion f(x) = Betrag von x2 minus 4. Wir führten zum Nachweis eine linksseitige und rechtsseitige Annäherung zur Tangentenbestimmung durch und haben festgestellt, dass man am Knickpunkt - obwohl es sich um ein und denselben Punkt handelt - unterschiedliche Tangentensteigungen erhält. Die Betragsfunktion ist an den Stellen x = -2 und x = 2 nicht differenzierbar, weil in diesen Punkten keine eindeutige Tangentensteigung bestimmbar ist.
stetig steigende und stetig fallende Gerade
Die Tangentensteigung liefert uns die Ableitung der Funktion. Somit ist eine Funktion f(x) an einer Stelle x0 dann differenzierbar, wenn die rechtsseitige und die linksseitige Ableitung an dieser Stelle x0 übereinstimmen. Das ist zum Beispiel der Fall bei einer Geraden, die ohne Knickstelle stets die gleiche Steigung aufweist, also entweder stetig steigt oder stetig fällt.
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Es ist aber auch der Fall bei Graphen, deren Funktionsgleichungen keine Definitionslücken aufweisen. All diese Funktionen sind stetig. Eine notwendige Bedingung für die Differenzierbarkeit ist also die Stetigkeit.
Kontinuierlichkeit
Der Begriff Stetigkeit könnte zum besseren Verständnis mit dem Begriff Kontinuierlichkeit verglichen werden. Denken Sie zum Beispiel an eine kontinuierliche Zunahme bei zu beobachtenden Ereignissen.
Stetige Funktion
Diagramm ist eine Gerade mit gleichbleibender Steigung
In einer Funktion dargestellt, ergibt sich in einem Monat-Gewicht-Diagramm eine Gerade mit gleichbleibender Steigung. Es handelt sich um eine stetige Funktion, weil jede Änderung des Rechtsachsenwertes eine eindeutige Änderung des Hochwertachsenwertes zur Folge hat.
Eine stetige Funktion mit Funktionsabschnitten
Unserem lieben Herrn könnte auch einfallen, dass er wieder abnehmen möchte, und dementsprechend weniger isst und dann vielleicht sein Gewicht hält. Eine Kontinuierlichkeit ist trotzdem erhalten geblieben. Auf unser Koordinatensystem mit x- und f(x)-Achse übertragen, ergibt sich eine stetige Funktion mit Funktionsabschnitten.